Приклади розв’язування задач
1.У Буратіно є 27 золотих монет. Але відомо, що Кіт Базиліо замінив одну монету на фальшиву, і вона по вазі важче справжніх. Як за три зважування на шалькових терезах без гир Буратіно знайти фальшиву монету?
Розділимо монети на 3 купки по 9 монет. Покладемо на шальки терезів першу і другу купки; в результаті цього зважування ми точно дізнаємось, в якій з купок знаходиться фальшивка (якщо терези покажуть рівність, то вона - в третій купці). Тепер, аналогічно, розділимо вибрану купку на три частини по три монети, покладемо на терези дві з цих частин і визначимо, в якій з частин знаходиться фальшива монета. Нарешті, залишається з трьох монет визначити важчу: кладемо на шальки терезів по 1 монеті - фальшивою є важча; якщо ж на терезах рівність, то фальшивою є третя монета з частини.
2. Серед 101 однакових за виглядом монет одна фальшива, така, що відрізняється за вагою. Як за допомогою шалькових терезів без гир за два зважування визначити, легшою або важчою є фальшива монета? Знаходити її не потрібно.
Зважуємо 50 і 50 монет, можуть бути два випадки.
1 випадок. Монети мають однакову вагу. Беремо монету, що залишилася, і ставимо її в ліву купку замість однієї з тих, що є там:
а) ліва купка важча => фальшива монета важча;
б) ліва купка легша => фальшива монета легша.
2 випадок. Монети мають різну вагу. Беремо важчу купку і розбиваємо її на дві купки по 25 монет:
а) вага купок однакова => фальшива монета легша;
б) вага купок неоднакова => фальшива монета важча.
3. Є 8 монет. Одна з них фальшива і легша за справжню монету. Визначить за 3 зважування яка з монет фальшива.Розв’язання:
Ділимо монети на дві рівні купки – по 4 монети в кожній. Зважуємо. Ту купку, яка легша, знову ділимо на дві однакові купки – тепер по дві монети в кожній. Зважуємо. Визначаємо, яка з них легша. Кладемо на шальки терезів по 1 монеті з цієї купки. Фальшива та, яка легша.
4. Є сім зовні однакових монет, серед яких п‘ять справжніх (усі однакової маси) і дві фальшиві (однакової маси, але легші за справжні). Як за допомогою двох зважувань на шалькових терезах без гир виділити три справжні монети?Розв’язання:
Занумеруємо монети числами 1, 2, 3, … , 7. Першим зважуванням порівняємо монети 1, 2, 3 з монетами 4, 5, 6. Якщо маси рівні, то в кожній трійці по одній фальшивій монеті, а монета 7 справжня. Тоді наступним зважуванням порівняємо монети 1 і 2. Якщо їхня маса однакова, то вони справжні, а якщо ж ні, то важча з монет 1, 2 монета 3 і монета 7 – справжні. Якщо під час першого – початкового – зважування переважила одна з груп, то всі її монети справжні.
5. Є 40 зовні однакових монет, серед яких 2 фальшиві, причому вони легші від справжніх і важать однаково. Як за допомогою двох зважувань на шалькових терезах без гир відібрати 20 справжніх монет?Розв’язання:
Розіб‘ємо монети на три купки: А, В і С, що містять по 10, 10 і 20 монет відповідно. Перше зважування: порівняємо вагу А і В. Можливі два випадки. Якщо А=В, то порівнюємо вагу А+В і С. Якщо A>B (другий випадок аналогічний), то розіб‘ємо С на дві купки по 10 монет і порівняємо їхню вагу.
Задача 1. У пакеті 9 кг крупів, За допомогою терезів з гирями 50 г і 200 г треба розкласти ці крупи у два пакети: в один – 2 кг, в другий – 5 кг. Спробуйте це зробити за три зважування. Знайдіть два способи розв’язання цієї задачі.
Перше зважування: розділимо 9 кг у два пакети по 4500 г, розваживши крупу порівну на обох шальках терезів. Друге зважування: один із пакетів розважимо пополам в два пакети по 2250 г у кожному. Третє зважування: із пакета масою 2250 г відсиплемо 250 г, зваживши їх за допомогою гир.
В пакеті залишиться 2кг крупи.
Відважимо 5 кг таким способом: перше зважування – 4500 г і 4500 г; друге зважування: відважимо 250 г з одного пакета і всиплемо їх в другий, одержимо 4250 г і 4750 г; третє зважування – із пакета масою 4250 г відважимо 250 г і знову висиплемо в інший пакет, в ньому одержимо 5 кг крупи.
Задача 2. У пакеті 3 кг 600 г крупів. Є шалькові терези і гиря 200 г. Як поділити крупи на три пакети: 800 г, 800 г і 2 кг – за допомогою трьох зважувань?
Перше зважування: 1800 г і 1800 г. Друге зважування: відважимо 200 г за допомогою гирі й висиплемо їх в пакет масою 1800 г – одержимо в одному пакеті 2 кг. Третє зважування: розважимо пакет масою 1600 г пополам по 800 г.
Задача 3. З дев’яти однакових на вигляд монет виділити одну фальшиву (важчу за справжні) за два зважування.
Розділимо 9 монет на три групи по 3 монети. На терези покладемо перші дві групи. Якщо шальки зрівноважаться, то фальшива монета в третій групі. Якщо шальки не зрівноважаться, то фальшива монета в групі, яка переважила іншу групу. Отже, ми виділили 3 монети, серед яких одна фальшива. ЇЇ можна виділити ще за одне зважування, як у задачі Б пояснювальної частини.
Задача 4. Є 5 монет, серед яких одна фальшива (невідомо, легша вона чи важча від справжньої). Маса справжньої монети 5 г. Як за допомогою двох зважувань на терезах можна визначити фальшиву монету, маючи одну гирю масою 5 г?
Позначимо монети №1, №2, №3, №4 і №5. Покладемо монети №1 і №2 на одну шальку, а монету №3 з гиркою – на другу. Якщо шальки зрівноважені, то фальшива знаходиться серед відкладених (№4 або №5). За друге зважування на одну шальку покладемо монету №4, а на другу – гирю. Якщо терези зрівноважені, то фальшивою є монета №5; якщо не зрівноважені, то фальшивою є монета №4. Якщо при першому зважуванні шальки не зрівноважені , то можливі два випадки:
переважує шалька з монетами №1 і №2 – тоді фальшива монета або №1 чи №2 (тоді вона важча від справжньої), або №3 (тоді вона легша від справжньої). Відкладені монети №4 і №5 – справжні. Для другого зважування на одну шальку покладемо монети №1 і №3, а на іншу - №4 і №5. Якщо переважать №1 і №3, то фальшива - №1, якщо переважать №4 і №5, то фальшива - №3, якщо вони зрівноважаться, то фальшива - №2;
переважує шалька з монетою №3 і гирею – тоді фальшива монета або №1 чи №2 (тоді вона легша), або №3 ( тоді вона важча); при другому зважуванні фальшивою буде монета №3, якщо переважує шалька з монетами №1 і №3; фальшивою буде монета №1, якщо переважують №4 і №5; фальшивою буде – №2, якщо №1 і №3 зрівноважені монетами №4 і №5.
Задача 5. Є 9 монет, серед яких одна фальшива (невідомо, легша вона чи важча від справжньої). Як за допомогою трьох зважувань на терезах без гир виділити фальшиву монету?
Розділимо монети на три групи по три монети в кожній. Якщо монети №1, №2 і №3 зрівноважені монетами №4, №5 і №6, то вони справжні, а фальшива - серед монет №7, №8 і №9. Для другого зважування на одну шальку покладемо справжні монети (наприклад №1,№2 і №3), а на другу – монети №7,№8 і №9. Якщо переважать справжні монети, то фальшива – легша, якщо переважать монети №7,№8 і №9, то фальшива – важча. При третьому зважуванні легко визначити фальшиву монету, як у задачі №14.4.
Якщо монети №1, №2 і №3 переважать монети №4, №5 і №6, то монети №7, №8 і №9 – справжні. Для другого зважування на одну шальку покладемо монети №1, №2 і №3, а на другу - №7, №8 і №9. Якщо монети не зрівноважені, то фальшива – серед монет №1, №2 і №3, причому вона важча, якщо №1, №2 і №3 переважать – і легша, якщо переважать монети №7,№8 і №9. Якщо при другому зважуванні №1, №2 і №3 зрівноважать групу монет №7, №8 і №9, то фальшива монета серед монет №4, №5 і №6, причому вона легша, якщо при першому зважуванні монети №1, №2 і №3 переважили монети №4, №5 і №6, і важча, якщо при першому зважуванні монети №4, №5 і №6 переважили монети №1, №2 і №3. Таким чином, після другого зважування ми визначили трійку монет, серед яких є фальшива, і знаємо важча вона чи легша. При третьому зважуванні визначимо фальшиву монету, як у задачі В.
